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エコロジー

としたときfxがR実数全体の集合上で微分可能であることを

- 2021年3月13日

としたときfxがR実数全体の集合上で微分可能であることを。ルベーグの優収束定理により、極限と積分操作の順序を交換できることを利用して証明するのが定番です。f(x)=∫[0?∞]cos(xt) e^ t^2dt (xは任意の実数) としたときf(x)がR(実数全体の集合)上で微分可能であることを示していただきたいです 117。実数全体で定義された微分可能な関数が,次のつの条件 , を
満たしている。 すべてのについて, // である。 成り立つ /
/=// とするとき, &#;//=&#;//- が成り立つ
ことを示せ。番の指針を教えてください! 解答極限を利用した&#;の
定義と。条件式を利用します。 — すみません。先程。合成
関数では出来ないと申し上げたのですが。最終的な結果を求めるには合成関数も
利用します

ルベーグの優収束定理により、極限と積分操作の順序を交換できることを利用して証明するのが定番です。{fx+h-fx}/h = ∫_[0,+∞ {cosx+ht-cosxt}/h?e^-t^2dtここで平均値の定理から{cosx+ht-cosxt}/h=-sinx+θht?t ?θ∈0,1≦ tであり、# t?e^-t^2 は可積分関数ですから、優収束定理により、すべての 0 に収束する数列 hn → 0 に対してlim_{hn→0} {fx+hn-fx}/h =lim_{hn→0} ∫_[0,+∞ {cosx+hnt-cosxt}/hn?e^-t^2dt= ∫_[0,+∞ lim_{hn→0}{cosx+hnt-cosxt}/hn?e^-t^2dt= ∫_[0,+∞ -sinxt?t?e^-t^2dtこの最後の積分はすべての x に対して有限確定値となるのも#より言えるので、fx は微分可能関数です。

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